Blog Grupy nr 1 klasy 2LP2

Funkcja wykładnicza :

Funkcja wykładnicza – funkcja postaci:

f (x) = a x

, gdzie

a > 0

Niektórzy autorzy^[1] wymagają, aby podstawa

a

funkcji wykładniczej była różna od 1, ponieważ dla

a = 1

funkcja

a x

jest funkcją stałą.
Własności :

$\quad a^{x+y}=a^x \cdot a^y$
$\quad a^{x-y}=\frac{a^{x}}{a^{y}}$

Dla $a>1\quad$ funkcja wykładnicza o podstawie $a\quad$ jest rosnąca, dla $0<a<1\quad$ malejąca. Jeśli $\quad a=1$ to funkcja $\quad f(x)=a^x$ jest stała.

Pochodna funkcji wykładniczej to:

$(a^x)'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}a^x\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=a^x \lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=a^x \ln a$

(patrz dowód w logarytm naturalny)
Czyli w szczególności dla $a=e\quad$ mamy

$(e^x)'=e^x\quad$

Funkcja wykładnicza o podstawie $a > 1$ jest (przy argumencie dążącym do $+\infty$ ) asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.

Funkcja eksponencjalna :
Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja eksponencjalna, czyli funkcja wykładnicza o podstawie równej

e

(czyli podstawie logarytmu naturalnego). Inne oznaczenie takiej funkcji to:

exp(x)

(nazywane skrótowo eksponentą).
Cechą funkcji $f(x)=e^x\quad$ jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Eksponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy: $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ .
Wykres funkcji $y=e^x\quad$ :

Funkcja Wykładnicza : http://www.youtube.com/watch?v=kP8uaXfKuTE

15 maja 2011

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

Licznik wyświetleń naszego bloga