Funkcja Wykładnicza

Mateusz Sablik napisał:

Funkcja wykładnicza :

Funkcja wykładnicza – funkcja postaci:
f(x) = ax, gdzie a > 0.
Niektórzy autorzy wymagają, aby podstawa a funkcji wykładniczej była różna od 1, ponieważ dla a = 1 funkcja ax jest funkcją stałą.
Własności :

  • \quad a^{x+y}=a^x \cdot a^y
  • \quad a^{x-y}=\frac{a^{x}}{a^{y}}
  • Dla a>1\quad funkcja wykładnicza o podstawie a\quad jest rosnąca, dla 0<a<1\quad malejąca. Jeśli \quad a=1 to funkcja \quad f(x)=a^x jest stała.
  • Pochodna funkcji wykładniczej to:
(a^x)'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}a^x\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=a^x \lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=a^x \ln a
(patrz dowód w logarytm naturalny)
Czyli w szczególności dla a=e\quad mamy
(e^x)'=e^x\quad
  • Funkcja wykładnicza o podstawie a > 1 jest (przy argumencie dążącym do +\infty) asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.
Funkcja eksponencjalna :
Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja eksponencjalna, czyli funkcja wykładnicza o podstawie równej e (czyli podstawie logarytmu naturalnego). Inne oznaczenie takiej funkcji to: exp(x) (nazywane skrótowo eksponentą).
Cechą funkcji f(x)=e^x\quad jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Eksponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy: \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}.
Wykres funkcji y=e^x\quad:
Exp plot real.png
Funkcja Wykładnicza : Lekcja matematyki - Funkcja wykładnicza

Dominika Wiech napisała:
A tu może jakiś przykład z barwnym wytłumaczeniem ;) :

Dla każdego a funkcja wykładnicza jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych. Dlaczego a ≠ 1? Otóż kładąc a = 1 otrzymalibyśmy funkcję stałą y = 1 (1 podniesione do dowolnej potęgi daje 1). Skoro ustaliliśmy dziedzinę funkcji (jest nią zbiór liczb rzeczywistych), pora na zbiór wartości. Otóż zbiorem wartości funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich R+. Dlaczego? Ano dlatego że a > 0, a każda liczba dodatnia podniesiona do dowolej potęgi jest liczbą dodatnią. Poniżej znajdują się wykresy funkcji wykładniczej dla a > 1 i a < 1.


Wykresy funkcji wyk³adniczej




Wykresy dla a>1

Wykresy funkcji wykładniczej


Wykresy dla a<1


Nasuwa się kilka spostrzeżeń. Po pierwsze funkcja jest różnowartościowa. Po drugie wykres posiada punkt charakterystyczny (0,1). Przez ten punkt przechodzi KAŻDY wykres funkcji wykładniczej! Ponadto, co widać z rysunku, dla każdego a > 1 funkcja jest rosnąca, zaś dla każdego a < 1, funkcja jest malejąca. Zastanówmy się dla jakich a zachodzi powyższa symetria wykresów względem osi OY? Otóż jeżeli mamy funkcję y = ax, to odpowiadający jej symetryczny wykres będzie wykresem funkcji y = a-x, czyli po prostu(1/a)x. Zauważmy jeszcze, że oś OX jest asymptotą poziomą każdego wykresu funkcji wykładniczej. Otóż, jeśli a > 1 wówczas a podniesione do bardzo ujemnej potęgi dąży do - ∞, zaś jeśli a < 1 to a podniesione do bardzo dużej (dodatniej) potęgi dąży do + ∞.
Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja f(x) = e-x, gdzie e jest liczbą Eulera (e=2,7172...). Funkcja ta nosi nazwę funkcji ekspotencjalnej i oznacza się ją jakoexp(x).


Genialne...



Ciekawostki
Właśnie z powodu własności funkcji wykładniczej systemy bankowe muszą od czasu do czasu zrobić plajtę, a inflacja jest matematycznie nieuchronna. To są słowa, które powinien mieć przed oczyma stale wypisane "złotymi zgłoskami" każdy, kto boleje nad kryzysami finansowymi. Na początku lat 90-tych w polskiej prasie można było przeczytać o ogromnym depozycie w gotówce i kosztownościach, jaki w Bank of England złożyli w XVII wieku Ukraińcy (wtedy mówiono: Rusini) organizujący powstania zbrojne przeciwko Pierwszej Rzeczypospolitej Polskiej (nie pamiętam dokładnie, GDZIE i KIEDY ukazała się ta informacja, ani tego, ILE wynosiła wartość owego depozytu). Informacja prasowa zawierała obawę o to, że gdyby właśnie dokonujące secesji ze Związku Sowieckiego nowe państwo ukraińskie upomniało się o zwrot tej fortuny z uwzględnieniem odsetek, to prawdopodobnie postawiłoby Bank of England w sytuacji zupełnie tragicznej niewypłacalności... A wszystkiemu winna funkcja wykładnicza. Dlaczego? Ano załóżmy, że depozyt wynosił bardzo mało, ledwie 1000 zł. Zakładając, że odsetki roczne wynoszą 10% tej sumy, łatwo zauważyć, że kapitał po n latach liczony jest za pomocą funkcji wykładniczej
y = (1.1)x·1000
Gdzie liczba 1000 to rzeczone 1000 zł, zaś x - liczba lat, które upłynęły od XVII wieku. Załóżmy, że upłynęło 400 lat. Po roku kapitał wyniósł 1100 zł, po dwóch 1210. Dziś Bank of England winien jest zatem Ukrainie około 36 064 014 027 524 435 000 zł. Chyba pachnie kłopotami...

Wojciech Wrona napisał:

Krótkie wprowadzenie do funkcji wykładniczej

Zastosowanie funcji wykładniczej w obliczeniach finansowych

Funkcja wykladnicza znalazla zastosowanie w przeliczaniu populacji bakteri oraz w przeliczaniu przejechanej drogi